求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分

  求解被积函数是一些分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)和Q(x)是关于x多项式。要是不能够求出那类积分的原函数,结果将令人颓废,今后我们要试图搜索一个实惠的主意求解那类难题。

选定周到法

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  这么些十分轻便:

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  不过借使将其写成:图片 3 看起来就不那么轻易求解了。那将须求我们能够去掉大器晚成都部队分分式的粉饰太平,也正是进展部分分式,产生咱们明白的被积函数。

  首先对被积函数的分母实行因式分解,利用初中的十字相乘法:

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  再将其拆分为新的等式:

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  最后再求出A和B,那亟需或多或少本事。现将等式两侧都乘以x
– 1, 以便消去个中贰个分式的分母:

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  将x =
1代入等式,那样就能够消去B的分式,直接求得A:

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  用平等的主意可求得B = 3。于是:

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  蒙蔽法能够职业必须满意两个原则:

  1. Q(x)能够被因是分解;
  2. P(x)的最高次数 <
    Q(x)的万丈次数

开展部分分式

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  这里无法一向开展成:图片 10,那是爱莫能助求解的。对于分母是高次项的豆蔻梢头部分分式,其进展的形象应该型如:

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  所以:

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  这种形式不能够求解A,因为无法排除B项。然而足以选拔古老的代数法求解,随意找八个数字,代入就能够,这里令x
= 0,等式变为:

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  最终:

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无法线性打开的高次分式

  将分母的多项式因式分解后,借使每一个因式的最高次项都以1次,则称该多项式能够线性张开,如
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x +
2),对于不能够线性打开的多项分式怎样求解呢?

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  首先是仍为因式分解:

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  然后要将一些分式张开,与事先分化,分子要插足一回项:

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  用选定周到法求出A:

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  接下去要千方百计求解B和C,先将分母全部消去:

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  那个时候大家入眼等式最高次项的次数,右边张开后会获得Ax2

  • Bx2,等式左右两侧的高次项全面应当相等:

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  由于省略号表示的表明式少将不会现身x2,故B
= 一半,代入可求得C = 60%

  最后求解积分:

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  今后面前蒙受的便是积分难点了,所以并非说有个别分式张开就高枕而卧。第生机勃勃有的非常轻松求解,答案是(ln|x

  • 1|)/2,第二有个别可用测度法求得原函数(ln(x2 +
    1))/4,第三片段须求依靠三角替换,令x = tanθ

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  最终:

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拍卖假分式

  借使P(x)的次数抢先Q(x)的次数,多项式正是贰个假分式,那类难题假如将其产生真分式就足以管理。

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  与局部分式相反,第一步是计量多项式:

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  用除法将其成为真分式,这么些历程实际上是将小学学过的除法竖式应用于多项式:

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  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

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  又见到了后生可畏都部队分分式:

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超级复杂的积分

  被积函数作为部分分式张开:

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  生龙活虎共有十个未分明的数,偏巧和局地分式的万丈次数相像。这里并不思谋求解那些未知数,只是用该列表示咱们得以管理百端待举的有理数积分。

  不过尽管张开了大器晚成部分分式,还是晤面前境遇复杂的积分管理。那么些事例将会遭遇上面包车型客车积分:

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  风华正茂共有13个未分明的数,正好和部分分式的参天次数相像。这里并不希图求解那几个未显著的数,只是用该列表示大家可以拍卖复杂的有理数积分。

  不过固然展开了有的分式,依然会见对复杂的积分管理。那几个事例将会遇上上边包车型地铁积分:

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  无休无止了,应该丢掉总括,交给Computer管理,只要领悟总计思路就可以。

示例

示例1

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示例2

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示例3

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tanθ=2x

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示例4

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  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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